12015年湖北理科数学答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B
二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）
11．9 12．2 13．
14．（Ⅰ）
；（Ⅱ）①②③ 15．
16．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
17．（11分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
. 数据补全如下表：
 | 0 |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 | 0 | 5 | 0 |  | 0 |
且函数表达式为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 
，得
.
因为
的对称中心为
，
.
令
，解得
，
.
由于函数
的图象关于点
成中心对称，令
，
解得
，
. 由
可知，当
时，
取得最小值
.
18．（12分）
（Ⅰ）由题意有，
即
解得
或
故
或
（Ⅱ）由
，知
，
，故
，于是
， ①
. ②
①-②可得
，
故
.
19．（12分）
（解法1）
（Ⅰ）因为
底面
，所以
，
由底面
为长方形，有
，而
，
所以
. 而
，所以
.
又因为
，点
是
的中点，所以
.
而
，所以
平面
. 而
，所以
.
又
，
，所以
平面
.
由平面，平面，可知四面体
的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为
.
（Ⅱ）如图1，在面
内，延长
与
交于点
，则
是平面
与平面
的交线. 由（Ⅰ）知，
，所以
.
又因为底面，所以
. 而
，所以
.
故
是面
与面
所成二面角的平面角，
设
，
，有
，
在Rt△PDB中, 由
, 得
,
则 
, 解得
.
所以
故当面
与面
所成二面角的大小为
时，
.
（解法2）
（Ⅰ）如图2，以
为原点，射线
分别为
轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则
，
，点
是
的中点，所以
，
，
于是
，即
.
又已知
，而
，所以
.
因
, 
, 则
, 所以
.
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.
（Ⅱ）由
，所以
是平面
的一个法向量；
由（Ⅰ）知，，所以
是平面
的一个法向量.
若面与面所成二面角的大小为
，
则
，
解得. 所以
故当面与面所成二面角的大小为时，.
20．（12分）
（Ⅰ）设每天
两种产品的生产数量分别为
，相应的获利为
，则有
（1）
目标函数为 
．
当
时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为
．
将
变形为
，
当
时，直线
：
在
轴上的截距最大，
最大获利
．
当
时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为
．
将
变形为
，
当
时，直线
：
在
轴上的截距最大，
最大获利
．
当
时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为
.
将
变形为
，
当
时，直线
：
在
轴上的截距最大，
最大获利
．
故最大获利
的分布列为
 | 8160 | 10200 | 10800 |
 | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
因此，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率
，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
21．（14分）
（Ⅰ）设点
，
，依题意，
，且
，
所以
，且
即
且
由于当点
不动时，点
也不动，所以
不恒等于0，
于是
，故
，代入
，可得
，
即所求的曲线
的方程为
（Ⅱ）（1）当直线
的斜率不存在时，直线为
或
，都有
.
（2）当直线的斜率存在时，设直线
，
由
消去
，可得
.
因为直线
总与椭圆
有且只有一个公共点，
所以
，即
. ①
又由
可得
；同理可得
.
由原点
到直线
的距离为
和
，可得
. ②
将①代入②得，
.
当
时，
；
当
时，
.
因
，则
，
，所以
，
当且仅当
时取等号.
所以当
时，
的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线
与椭圆
在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
22．（14分）
（Ⅰ）
的定义域为
，
.
当
，即
时，
单调递增；
当
，即
时，
单调递减.
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
当
时，
，即
.
令
，得
，即
. ①
（Ⅱ）
；
；
.
由此推测： 
②
下面用数学归纳法证明②.
（1）当
时，左边
右边
，②成立.
（2）假设当
时，②成立，即
.
当
时，
，由归纳假设可得
.
所以当时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.
（Ⅲ）由
的定义，②，算术-几何平均不等式，
的定义及①得
.
即
.
22015年湖北理科数学试题
2015年湖北理科数学试题