12015年广东理科数学选择题
（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2、若复数
（
是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、袋中共有
个除了颜色外完全相同的球，其中有
个白球，
个红球．从袋中任取
个球，所取的
个球中恰有
个白球，
个红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5、平行于直线
且与圆
相切的直线的方程是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
6、若变量
，
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7、已知双曲线
的离心率
，且其右焦点为
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8、若空间中
个不同的点两两距离都相等，则正整数
的取值（ ）
A．至多等于
B．至多等于
C．等于
D．大于
22015年广东理科数学填空题
（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）
（一）必做题（11~13题）
9、在
的展开式中，
的系数为 ．
10、在等差数列
中，若
，则
．
11、设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．若
，
，
，则
．
12、某高三毕业班有
人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
13、已知随机变量
服从二项分布
，若
，
，则
．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线
的极坐标方程为
，点
的极坐标为
，则点
到直线
的距离为 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图
，已知
是圆
的直径，
，
是圆
的切线，切点为
，
．过圆心
作
的平行线，分别交
和
于点
和点
，则
．
32015年广东理科数学解答题
16.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系
中，已知向量
(1) 若
，求
的值；
(2) 若
与
的夹角为
，求
的值.
17. （本小题满分12分）
某工厂36名工人年龄数据如下表
（1） 用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2） 计算（1）中样本的均值
和方差
；
（3） 36名工人中年龄在
和
之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？
18.（本小题满分14分）
如图2，三角形
所在的平面与长方形
所在的平面垂直，
，点
是
的中点，点
分别在线段
上，且
.
(1) 证明：
；
(2) 求二面角
的正切值；
(3) 求直线
与直线
所成角的余弦值.
19. （本小题满分14分）
设
，函数
(1) 求
的单调区间；
(2) 证明
在
上仅有一个零点；
(3) 若曲线
在点P处的切线与x轴平行，且在点
处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：
.
20. （本小题满分14分）
已知过原点的动直线
与圆
相交于不同的两点A、B.
(1) 求圆
的圆心坐标；
(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3) 是否存在实数k,使得直线
与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分14分）
数列
满足：
.
(1) 求
的值；
(2) 求数列的前 n项和
；
(3) 令
证明：数列
的前
项和
满足